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Strömungslehre

Die Strömungslehre wird auch als Strömungs- oder Fluidmechanik bezeichnet und ist die Lehre von den Bewegungen flüssiger und gasförmiger Medien (siehe Fluid). Sie befasst sich im Rahmen der Hydro- und teilweise auch Aerodynamik mit Strömungen, bei denen Dichteänderungen vernachlässigbar sind (inkompressible Strömungen) und im Rahmen der Gasdynamik mit Strömungen von Gasen, bei denen die Kompressibilität berücksichtigt werden muss. Die Strömungslehre versucht einerseits, auf theoretischem Wege die einen Strömungsvorgang beschreibenden Gleichungen zu erstellen und deren Lösungen aufzufinden, andererseits empirisch gefundene Gesetzmäßigkeiten bestimmter Strömungsprobleme in geeigneter Form darzustellen und zu interpretieren. 

Nach der Zahl der erforderlichen Koordinaten wird zwischen ein-, zwei- und dreidimensionalen Strömungsvorgängen unterschieden, die jeweils stationär (zeitunabhängig; siehe stationäre Strömung) oder instationär (zeitabhängig; siehe instationäre Strömung) verlaufen können. 

Die auch als Stromfadentheorie bezeichnete Theorie der eindimensionalen Strömung beschäftigt sich mit Strömungen in einem allseits von Stromlinien begrenzten Stromfaden, vor allem mit der Strömung in Rohren und geschlossenen Kanälen. 

Eine Grundgleichung der Strömungslehre ist die Kontinuitätsgleichung in differenzieller Form:
Strömungslehre_Formel_1

(inkompressibles Fluid und stationäre Strömung vorausgesetzt) 

Nach der Stromfadentheorie bleibt das Produkt aus dem Strömungsquerschnitt (A) und der (im Querschnitt gemittelten) Strömungsgeschwindigkeit (v) längs des Stromfadens konstant.
Strömungslehre_Formel_2

Weiterhin ist nach der BERNOULLI-Gleichung längs eines Stromfadens in reibungsfreier stationärer Strömung die als Gesamtdruck (ptot) bezeichnete Summe aus statischem Druck (p), dynamischem Druck ((ρ / 2) · v2) und dem Höhenglied (ρ · g · z) konstant.
Strömungslehre_Formel_3

Die Erweiterung dieser Betrachtung auf reibungsbehaftete Strömungen zwischen zwei beliebigen Querschnitten (A x , A y) einer Pumpenanlage erfordert die Berücksichtigung der Druckhöhenverluste und der Druckänderung durch eine Pumpe oder Turbine zwischen A x und A y:
Strömungslehre_Formel_4

Die realen zwei- und dreidimensionalen Strömungen können meist mit den Methoden der Potenzialströmung berechnet werden, wenn die Strömung außerhalb der Grenzschicht (in genügend großem Abstand von festen Wänden) verläuft und so als quasi reibungsfrei gilt. 

Dagegen ist es nur in wenigen einfachen Fällen möglich, die exakte Lösung der für reibungsbehaftete inkompressible Strömungen gültigen Bewegungsgleichungen (NAVIER-STOKES-Gleichung) anzugeben. 

Diese lautet für ein homogenes NEWTON Fluid (ρ,η = const.):
Strömungslehre_Formel_5

Bei genügend großen REYNOLDS-Zahlen sind die allgemeinen Bewegungsgleichungen für die in der Nähe fester Wände vorhandenen, dünnen Grenzschichten stark zu vereinfachen und mit den Verfahren der Grenzschichttheorie zu lösen. Von der Mikrostruktur der Strömung her wird zwischen einer laminaren und turbulenten Strömung unterschieden. 

Für dem Fall inkompressibler, reibungsfreier Strömung vereinfacht sich die allgemeine Bewegungsgleichung auf die EULER-Gleichung

Strömungslehre_Formel_6

Aus dieser Gleichung ergibt sich für die stationäre Strömung die BERNOULLI-Gleichung

Eine wichtige praktische Rolle spielt in der Kreiselpumpentechnik bei inkompressiblen, stationären Strömungen der Impulssatz. Er stellt die integrale Form der NAVIER-STOKES-Gleichungen dar. Ein Anwendungsbeispiel ist der CARNOTsche Stoßverlust in einer inkompressiblen Strömung durch einen sich plötzlich erweiternden Diffusor. siehe Abb. 1 Strömungslehre

Strömungslehre: Zum CARNOTschen Stoßverlust (Anwendung des Impulssatzes) Abb. 1 Strömungslehre: Zum CARNOTschen Stoßverlust (Anwendung des Impulssatzes)


Der Diffusor besteht dabei aus Kreisquerschnitten. Am scharfen Übergang vom kleineren Kreisquerschnitt (A1 = π· D12/ 4) auf den größeren Querschnitt (A2 = π· D22/ 4) bildet sich eine ringförmige Ablösung (a) aufgrund der Trägheit der strömenden Masse (Totwasser). Die Strömung legt sich meist erst nach einer Lauflänge (L) vom mindestens 8 bis 10-fachen von D2 wieder an. Der Impulssatz soll auf die in Richtung der Durchflussgeschwindigkeit (v) wirkenden äußeren Kräfte der im Kontrollraum (strichpunktierte Linie) eingeschlossenen Flüssigkeit angewandt werden. Dabei sollen die Impulskräfte (FJ) stets auf die darin eingeschlossene Flüssigkeit gerichtet sein.
Strömungslehre_Formel_7

Weiterhin treten noch Druck- (Fp) und Reibungskräfte (Fv) auf.
Strömungslehre_Formel_8

Aufgrund der Totwasserströmung (siehe Grenzschicht) an der Rohrwand sind die Reibungskräfte (Fv) vernachlässigbar klein. Damit lautet nach dem Impulssatz das Kräftegleichgewicht in Richtung der Durchflussgeschwindigkeit (v) (in positiver Richtung):  Strömungslehre_Formel_9

Damit ergibt sich für die Differenz der statischen Drücke nach dem Impulssatz:
Strömungslehre_Formel_10

Nach der BERNOULLI-Gleichung ergibt sich für einen Stromfaden unter Berücksichtigung der Druckverlusthöhe (Hv.1,2):
Strömungslehre_Formel_11

Wird (p2 - p1) nach dem Impulssatz eingesetzt, so gilt, wenn z1 gleich z2 ist:  Strömungslehre_Formel_12

Aufgrund des ähnlichen Aussehens dieser aus dem Impulssatz erhaltenen mit der Gleichung für den Energieverlust beim geraden unelastischen Stoß zweier Körper hat der aus der zuletzt angegebenen Gleichung ermittelte Druckhöhenverlust allgemein in der Strömungslehre den Namen CARNOTscher Stoßverlust erhalten. 

Eine weitere wichtige Anwendung des Impulssatzes führt zur Hauptgleichung der Strömungsmaschinen: Wird die Beschaufelung (siehe Schaufel) eines Laufrades in Laufradelemente aufgeteilt, wobei ein Element (Index El) zwischen zwei benachbarten Flussflächen (siehe Flusslinie) der Laufrad-Relativströmung (siehe Relativgeschwindigkeit) liegen soll, so ist die spezifische Schaufelarbeit des Laufradelementes (YEl): 

Strömungslehre_Formel_13

Die Hauptgleichung der Strömungsmaschinen ist für jede beliebige Form des Laufrades gültig. Sie gilt für Kreiselpumpen und Turbinen. 

Die Gleichung ist unabhängig von der Dichte des Fördermediums und kann auch auf solche Fälle angewendet werden, in denen sich die Dichte beim Durchgang durch das Laufrad ändert wie bei gas- oder dampfförmigen Medien. 

Eine weitere Schreibweise für die spezifische Förderarbeit des Laufrades lautet:
Strömungslehre_Formel_14

In dieser Gleichung können die ersten beiden Glieder als die Differenz der statischen Druckenergie über das Laufrad interpretiert werden. Die Energiedifferenz aus den Komponenten der Absolutgeschwindigkeit steht zunächst nur als Geschwindigkeitsenergie zur Verfügung und muss deshalb in Leitapparaten oder Diffusoren in Druckenergie umgewandelt werden. 

Die spezifische Schaufelarbeit des gesamten Laufrads (Y) ergibt sich aus der (massestromgerichteten) Mittelung über alle Laufradelemente. Zwischen spezifischer Förderarbeit des Laufrades (Y) und Förderleistung (PQ) besteht ein Zusammenhang: 


Strömungslehre_Formel_15


Übertragen auf das Laufradelement ergibt sich die Schaufelleistung des Elementes (PEl):


Strömungslehre_Formel_16


Nach Addition der Verlustleistungen folgt schließlich der Leistungsbedarf (P) der Kreiselpumpe. 

Strömungslehre_Formel_17